# 복소근

**복소근**(complex root)은 복소수 범위에서 특정 방식의 해가 되는 복소수를 의미한다. 특히 다항방정식, 지수방정식, 삼각함수 방정식 등에서 실수 범위를 넘어서 해를 구할 때 등장하며, 복소해석학에서 중요한 개념 중 하나이다. 복소근은 실수부와 허수부로 구성된 복소수 형태로 표현되며, **대수학의 기본정리**(Fundamental Theorem of Algebra)에 따라 복소수 계수를 가지는 n차 다항식은 중복을 포함해 정확히 n개의 복소근을 가진다.

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## 개요

복소수는 실수와 허수의 조합으로 표현되며, 일반적으로 $ z = a + bi $ ($ i = \sqrt{-1} $)의 형태를 가진다. 실수 방정식의 해가 실수축 상에 존재하지 않을 경우, 그 해는 복소수로 존재할 수 있으며, 이러한 해를 **복소근**이라 한다. 예를 들어, 방정식 $ x^2 + 1 = 0 $은 실수 범위에서 해가 없지만, 복소수 범위에서는 $ x = \pm i $가 해가 되며, 이들은 복소근이다.

복소근은 수학 전반에서 널리 활용되며, 특히 **공학**, **물리학**, **신호 처리**, **제어 이론** 등에서 시스템의 안정성 분석, 주파수 응답, 진동 해석 등에 핵심적인 역할을 한다.

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## 주요 개념

### 1. 대수학의 기본정리

대수학의 기본정리는 복소근의 존재를 보장하는 중요한 정리이다. 내용은 다음과 같다:

> **정리**: 복소수 계수를 가지는 $ n $차 다항식 $ P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0 $ ($ a_n \neq 0 $)은 중복을 포함하여 정확히 $ n $개의 복소근을 가진다.

이리는 실계수 다항식도 포함하며, 실계수 다항식의 경우 복소근은 **켤레 복소수**(conjugate pair) 형태로 항상 등장한다. 즉, $ a + bi $가 근이면 $ a - bi $도 반드시 근이다.

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### 2. 실계수 다항식의 복소근 성질

실계수 다항식의 복소근은 다음의 중요한 성질을 가진다:

- **켤레 성질**: 만약 $ z = a + bi $ ($ b \neq 0 $)가 실계수 다항식의 근이면, 그 켤레복소수 $ \overline{z} = a - bi $도 반드시 근이다.
- **실근과 복소근의 분포**: 실근은 실수축 위에 존재하고, 복소근은 복소평면 상에 존재하며, 실계수 다항식에서는 복소근이 항상 짝을 이뤄 나타난다.

예를 들어, 다음 방정식을 고려하자:
$$
P(x) = x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 8x + 4
$$
이 방정식은 실근 $ x = 1 $ (중근)과 복소근 $ x = \pm 2i $를 가진다. 이 경우 $ 2i $와 $ -2i $는 서로 켤레 관계에 있다.

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## 복소근의 계산 방법

### 1. 이차방정식의 복소근

이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $의 근은 판별식 $ D = b^2 - 4ac $에 따라 결정된다.

- $ D > 0 $: 서로 다른 두 실근
- $ D = 0 $: 중복 실근
- $ D < 0 $: 서로 다른 두 복소근 (켤레 쌍)

예: $ x^2 + 4 = 0 $
$$
x = \frac{0 \pm \sqrt{-16}}{2} = \pm 2i
$$

### 2. 고차방정식의 복소근

고차 다항식의 복소근은 인수분해, 유리근 정리, 수치해법(예: 뉴턴-랩슨 방법), 또는 복소평면에서의 근의 위치 분석(예: 루치안 도표, 근궤적)을 통해 구할 수 있다.

또한, **복소수의 극형식**을 이용하면 삼각함수나 지수함수 형태의 방정식에서도 복소근을 쉽게 분석할 수 있다.

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## 극형식과 드 무아브르의 정리

복소수 $ z $를 극형식으로 표현하면:
$$
z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}
$$
여기서 $ r = |z| $는 절댓값, $ \theta = \arg(z) $는 편각이다.

**드 무아브르의 정리**(De Moivre's Theorem)는 다음과 같다:
$$
(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)
$$

이를 이용해 $ z^n = w $ 형태의 방정식의 **n개의 복소근**(즉, n제곱근)을 구할 수 있다. 예를 들어, $ z^3 = 1 $의 해는 **1의 세 세제곱근**으로, 다음과 같다:
$$
z_k = \cos\left(\frac{2k\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{2k\pi}{3}\right), \quad k = 0, 1, 2
$$
즉,
- $ z_0 = 1 $
- $ z_1 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} $
- $ z_2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} $

이들은 복소평면에서 정삼각형을 이루며 분포한다.

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## 응용 분야

- **전자공학**: AC 회로 해석에서 임피던스와 위상각은 복소수로 표현되며, 시스템의 주파수 응답은 복소평면 상의 근 위치에 따라 결정된다.
- **제어공학**: 전달함수의 극점(poles)이 복소수일 때, 시스템의 과도응답은 진동성을 가진다. 복소수 극점의 실부가 음수이면 시스템은 안정하다.
- **양자역학**: 파동함수는 복소함수이며, 고유값 문제의 해는 복소근으로 표현되는 경우가 많다.
- **수치해석**: 고차 방정식의 해를 수치적으로 구할 때 복소근을 포함한 근을 모두 찾아야 정확한 해석이 가능하다.

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## 관련 개념

- **대수적 수**(algebraic number): 어떤 정수계수 다항방정식의 근이 되는 복소수
- **초월수**(transcendental number): 대수적 수가 아닌 복소수 (예: $ \pi, e $)
- **복소평면**(complex plane): 복소수를 좌표평면에 시각화한 공간 (가로축: 실수부, 세로축: 허수부)

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## 참고 자료

- Ahlfors, L. V. (1979). *Complex Analysis*. McGraw-Hill.
- Churchill, R. V., & Brown, J. W. (2014). *Complex Variables and Applications*. McGraw-Hill.
- Stewart, J., & Tall, D. (2015). *Complex Analysis: The Hitchhiker's Guide to the Plane*. Cambridge University Press.

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## 관련 문서

- [복소수](복소수.md)
- [대수학의 기본정리](대수학의_기본정리.md)
- [드 무아브르의 정리](드_무아브르의_정리.md)
- [오일러의 공식](오일러의_공식.md)